miércoles, 31 de agosto de 2011

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Propiedades del valor absoluto

1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
|a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|      |− 10| = |5| · |2|     10 = 10
3El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|      |3| = |5| + |2|     3 ≤ 7
Función valor absoluto
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.
3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4 Representamos la función resultante.
VIDEO: Propiedades de la Funcion valor Absoluto

Inecuacion con Valor Absoluto

Valor absoluto de un número real
Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a\, está definido por: ejemplos básicos:
|a| = \begin{cases}
  \;\;\;a, & \mbox{si } a \ge 0\\
       -a, & \mbox{si } a < 0
 \end{cases}
Note que, por definición, el valor absoluto de a\, siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real

Inecuaciones Fraccionarias

Las inecuaciones fraccionarias o racionales tienen la incognita en el denominador.
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero.
inecuación
Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
x − 2 = 0      x = 2
x − 4 = 0      x = 4
Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.
Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
inecuación
signos
signos
signos
gráfica
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.
S = (-∞, 2] Unión (4, ∞)

inecuación
Pasamos el 2 al primer miembro y ponemos a común denominador.
inecuación

Hallamos las raíces del numerador y del denominador.
−x + 7 = 0      x = 7
x − 2 = 0        x = 2
Evaluamos el signo:
signos
signos
signos
solución gráfica
S = (-∞, 2) Unión (7, ∞)

Ejercicios de inecuaciones fraccionarias

1Inecuación
solución
solución
polinomiio
solución
El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos. resultará que el demnominador será siempre negativo.
solución
Multiplicando por −1:
solución
gráfica
(−-∞ , −1] Unión (1, +∞)

2Inecuación
solución
solución
solución
gráfica
[−2 , −1] Unión (1, 2)

3inecuación
solución     
    El numerador siempre es positivo.
solución    
El denominador no se puede anular.
solución
Por lo que la inecuación original será equivalente a:
x2 − 4 > 0
gr´fica
(−-∞ , −2) Unión (2, +∞)

VIDEO 1


VIDEO 2

martes, 30 de agosto de 2011

Inecuación Cuadrática

La inecuación cuadrática o de segundo grado:
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
x2 − 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado.
x2 − 6x + 8 = 0
solución a la ecuación

Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:
gráfica
P(0) = 02 − 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 32 − 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 52 − 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que el polinomio.
gráfica
S = (-∞, 2) Unión (4, ∞)

x2 + 2x +1 ≥ 0
x2 + 2x +1 = 0
solución
(x + 1)2 ≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R
Solución
x2 + 2x +1 ≥ 0(x + 1)2 ≥ 0R
x2 + 2x +1 > 0(x + 1)2 > 0R-1
x2 + 2x +1 ≤ 0(x + 1)2 ≤ 0x = − 1
x2 + 2x +1 < 0(x + 1)2 < 0vacio
x2 + x +1 > 0
x2 + x +1 = 0
solución

Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:
El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R.
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
x2 + x +1 ≥ 0R
x2 + x +1 > 0R
x2 + x +1 ≤ 0vacio
x2 + x +1 < 0vacio

Ejercicios de inecuaciones cuadraticas

  1. 7x2 + 21x − 28 < 0
x2 +3x − 4 < 0
x2 +3x − 4 = 0
solución
P(−6) = (−6)2 +3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 02 +3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 32 +3 · 3 − 4 > 0
gráfica
(−4, 1)


    2. inecuación
solución
recta
P(−3) = 4 · (−3)2 − 16 > 0
P(0) = 4 · 0 2 − 16 < 0
P(3) = 4 · 3 2 − 16 > 0
gráfica
(-∞ , −2 ] Unión [2, +∞)

VIDEO 1 Inecuación Cuadrática


VIDEO 2 Inecuacion Cuadrática